» Dans les n° 1 et 2 du § II de notre rapport, nous montrons comment le problème de l'intégration des équations f=0, F =0, peut être ramené à l'intégration de cinq équations du premier ordre aux dérivées partielles par rapport à x, et contenant sept variables dépendantes y, z, p, q, Z, P, Q, et deux équations du premier ordre, aux dérivées partielles par rapport à u, et contenant les mêmes variables, sauf p et P. Cette partie de notre exposé est irréprochable, pensons-nous.

» Dans le n° 3, pour pouvoir utiliser les cinq équations dont il vient d'ètre question, nous y avons adjoint deux équations aux dérivées partielles par rapport à x, par analogie à ce que l'on a fait dans le cas d'une seule variable dépendante z. Mais cette analogie est trompeuse. Au fond, ces deux équations sont arbitraires, et rien ne prouve qu'elles ne soient pas incompatibles avec toute solution des équations simultanées (*)

» Dans le n° 4, nous indiquons comment l'on doit achever l'intégration au moyen de deux équations en u, qui servent à déterminer deux quantités auxiliaires I et J. Même, en supposant le n° 3 irréprochable, les équations finales en I et J, données dans le n° 4, sont inexactes, parce que les seconds membres, au lieu d'être nuls, sont égaux à des expressions assez compliquées, comme l'on peut s'en assurer.

» Les nos 5 et 6, consacrés au cas particulier traité par M. Turquan, s'appuient sur les no 3 et 4, et, par conséquent, ne con

(*) Nous croyons maintenant aussi qu'une erreur de raisonnement semblable à celle que nous signalons ici se trouve dans le Mémoire de M. Turquan, mais nous laissons au lecteur compétent le soin de juger s'il en est réellement ainsi.

duisent à des conclusions exactes que dans des cas particuliers.

› Malgré les défauts que nous venons de signaler dans notre exposé de la méthode de Cauchy étendue à deux équations aux dérivées partielles du premier ordre, nous croyons cette méthode, ou la méthode équivalente de M. Turquan, très propre à résoudre la question de l'intégration de ces équations, dans les cas où elle est réductible à celle d'un système d'équations différentielles ordinaires ne contenant qu'un nombre fini de termes. On n'a pas prouvé que cette réduction soit toujours possible, et, par suite, il se peut que l'échec de ces méthodes, dans le cas général, tienne à la nature des choses elles-mêmes. >>

Le R. P. Carbonnelle présente un mémoire de M. d'Abbadie: Recherches sur la verticale.

La section désigne comme commissaire le R. P. Perry.

M. Mansion présente un rapport sur un travail de M. Gilbert Sur une propriété de la fonction de Poisson et sur la méthode de Jacobi pour l'intégration des équations aux dérivées partielles du premier ordre.

Rapport de M. P. Mansion,

Jacobi a découvert vers 1838 et Clebsch a publié en 1862 une méthode nouvelle, extrêmement ingénieuse, pour intégrer une équation aux dérivées partielles du premier ordre

contenant un nombre quelconque de variables indépendantes. Dans ce travail, l'illustre géomètre, au lieu de déterminer, comme Cauchy, à la fois la variable dépendante z et n dérivées p en fonction des variables indépendantes et de n constantes, cherche (n-1) relations

seulement, contenant (n - 1) constantes arbitraires et telles que les valeurs des quantités p que l'on en déduit rendent

immédiatement intégrable. Une fois ces valeurs trouvées, on trouve aisément z, par une simple quadrature qui introduit d'ailleurs une n' ième constante arbitraire.

Les n relations H = a peuvent se mettre sous un grand nombre de formes différentes, ayant entre elles une certaine dépendance. Si l'on représente par M = 0, N= 0, deux de ces relations, on prouve que la condition d'intégrabilité immédiate de l'expression (3) entraîne la suivante

Les conditions d'intégrabilité de la forme (M, N) = 0 se classent en deux catégories: les unes sont des identités, les autres sont des équations qui ne sont vérifiées qu'en vertu des relations M0, N= 0 elles-mêmes. Ainsi, par exemple, si l'on fait M a,, N = H, ‍ H,a,, on a identiquement

=

= H, ·

des

Si, au contraire, l'on déduit des équations (1) (2), les valeurs

Pnn (X1, X2, ..., X2, A1, Aq, Az, A.,...,
, ..., a„) = 0,

les conditions

(Pr— ?r, P. — ?.)—0, .

(P)

peuvent être des équations vérifiées seulement si l'on a P1910, P2 — P20, ... Ainsi, par exemple, si

=

- = =

H1 = (X3P2 + X2P3) X1 + α (P2 — P3) P1, H2 = (X2 + X3) (P2 + P3),

Enfin, si l'on a déduit des m premières équations (1) (2)

= 0.

Cette distinction des conditions en identités et en équations n'a été faite ni par Jacobi ni par ses commentateurs. Jacobi semble croire que celles de la forme (p,q,, P.- q)=0 sont des identités et Imschenetsky le dit explicitement, quoique cela soit inexact. Dans l'exposé de la méthode de Jacobi, tous les auteurs, comme l'illustre géomètre lui-même, supposent que les conditions (4) sont des identités, mais aucun ne le démontre d'une manière explicite.

Il y a donc au moins une lacune dans la célèbre Nova Methodus. C'est cette lacune que le Mémoire de M. Gilbert comble de la manière la plus heureuse. Il a découvert une remarquable propriété de la fonction de Poisson qui permet de prouver immédiatement que les conditions (4) sont des identités.

Cette propriété s'écrit analytiquement de la manière suivante :

(P; — 419 Pk — 4k) × A=(− 1)*+* $ (− 1)'+' A′′ × (H,, H.); (A)

nécessairement différent de zéro, les fonctions H1, H2,........., Hm étant supposées indépendantes; A est le déterminant obtenu en supprimant dans ▲ les colonnes r, s et les lignes i, k.

Il est clair que si l'on a pour toute combinaison des m fonctions H (m seulement), (H,, H,) 0, on aura aussi

=

Mais il ne suffit pas, comme on pourrait le croire au premier abord, de prouver que les conditions identiques (H) ont pour conséquences les conditions identiques (4). Il faut de plus, et c'est une seconde lacune de l'exposé de Jacobi et de ses commenlateurs, prouver que si les conditions (H) existent pour m fonctions H, de même les conditions (4) subsistent (identiquement) pour les fonctions p. Or c'est ce qu'établit la précédente démonstration. Le perfectionnement apporté par là à la méthode de Jacobi est encore plus considérable que celui qui est introduit par la démonstration de la propriété des conditions (4) d'être des identités.

Dans l'exposé de sa méthode donné par Jacobi, on détermine successivement les relations H2 = аz, H1, = α, etc., cherchant successivement une intégrale de l'équation

=

aq, Hz

(P11, H)=0, (P2-42, H3)=0,

(P11, H)=0, (P2-42, H1)=0, (Ps-43, H1)=0, etc.,