permettre l'estimation rapide de l'erreur correspondant à une distance h des ordonnées, quand on emploie la formule des trapèzes ou celle de Simpson. Mais il est facile de prouver que o est inférieur à 2d et que, par suite, l'erreur, dans la première, est moindre que hd, et que hd, dans la seconde.

Pour le prouver, remarquons d'abord que l'on peut écrire :

♪ = 2 [PQ — (QR — RS) — (ST — TF)].

Or, on a PQ=d, et PQ>QR>RS>ST>TF. Pour établir ce dernier point, prouvons, par exemple, que PQ ou d est supérieur à d' ou QR. L'inégalité à établir, PQ > QR, devient successivement:

Soient, b, le point d'intersection de bB avec AC, k1, celui de kK avec IL. On a

et, sous cette forme, elle est évidente.

Il est donc aussi facile d'estimer graphiquement une limite supérieure de l'erreur pour la formule des trapèzes ou pour celle de Simpson, que pour la formule de Poncelet ou pour celle de M. Parmentier.

L

DEMONSTRATION GRAPHIQUE SIMULTANÉE DES RÉSULTATS PRÉCÉDENTS. PREMIÈRE EXTENSION AU CAS OÙ LE NOMBRE DES ORDONNÉES

EST PAIR.

11. Formule des trapèzes. On peut donner de la quantité hd une interprétation graphique différente de celle du n° 7, applicable même au cas où le nombre des ordonnées est pair.

Considérons, par exemple, une aire Σ-aABCDEFf (Fig. 3) ayant encore sa concavité dirigée vers la base al, et ses ordonnées aA, bB,...., Ff, distantes entre elles d'une même quantité h. Cette aire est comprise entre le polygone inscrit T-aABCDEFf et le polygone circonscrit aB,B,D,D2E1E2ƒ•

La différence entre ces deux polygones est plus petite que la somme des triangles

Par le point B, menons BX, prolongement de CB, By, Bo,

Bε,

Big, Bo respectivement parallèles à DC, D,DD2, DE, EE, EF. Les triangles énumérés tantôt sont égaux respectivement aux triangles

ABB, B,BX, Bo, ¿Bε, B,

indiqués sur la figure par des hachures. Leur somme est inférieure au triangle ABq, qui est égal lui-même à la somme des deux triangles BPA, EQF, BP, EQ étant des parallèles à af. L'aire est donc inférieure à l'aire T augmentée de ces deux triangles, autrement dit, on a

aABCDEFƒ< aire Σ <aPBCDEQf,

résultat extrêmement simple et non encore signalé, que nous sachions (*).

Si la courbe était continuellement croissante (Fig. 4) ou décroissante, de A à F, la différence A est encore inférieure à un triangle ABq, dont le côté Bq est parallèle à la dernière corde du polygone T. Ce triangle AB¤ est égal à la différence des triangles BPA, EQF. Par suite T+ABP-EQF, est une limite supérieure de Σ, qui est encore égale au polygone aPBCDEQf, comme dans le cas précédent.

Pour une figure donnée, il est évidemment plus facile de construire les deux triangles ABP, EQF que le petit rectangle PQQ'P' de Poncelet (Fig. 1).

Dans le cas de la figure 3, on a d'ailleurs

(*) Si les ordonnées n'étaient pas équidistantes, il est clair que l'erreur commise en prenant ST est moindre qu'un triangle semblable à AB et ayant pour hauteur au lieu de AP=h, la distance des deux ordonnées consécutives de la courbe les plus éloignées l'une de l'autre.

Donc AB, somme des deux triangles dans le premier cas, différence dans le second, est égale à

Appelons T' l'aire aPBCDEQf, de sorte que T'=T+hD.

On aura:

T=h

(+

+ Yr + Ys + + Yn-1 +

4.).

T'=h

1

·Y 2 + Y2 + Ys + ··· + Yn-1 + + (3-0)

On obtient donc une limite supérieure T' de l'aire Σ, en

remplaçant dans l'aire du polygone inscrit T, la première et la dernière ordonnée par la seconde et l'avant-dernière (*).

12. Formules de Poncelet, de M. Parmentier et de Simpson. Ces formules n'existent que dans le cas où le nombre des ordonnées est impair. Considérons donc seulement l'aire S=aABCDEe (Fig. 3). Le polygone m inscrit de Poncelet est aABDEe. Prolongeons DB jusqu'à sa rencontre en ẞ avec aA. La différence hd-M-m, entre le polygone circonscrit et le polygone inscrit est égale à la somme des quatre triangles

ABB1, BC,B,B,BB, D,D2c1, BB, DED, =

=

=

ou au triangle ABɛ. L'erreur maxima, dans la formule de Poncelet, est donc moindre que AB; dans celle de Parmentier, elle est inférieure à ABɛ, et souvent à ¦ ABɛ.

=

On a vu, au no 9, que dans la formule de Simpson, ɛ <hồ et hồ—2 (M—t). Dans le cas actuel, d'après le no 11, M—t est la somme des triangles compris à l'intérieur de ABɛ et marqués par des hachures. Donc hồ <2 ABɛ, hồ < ABɛ et, par conséquent, l'erreur & est moindre que hd.

3

13. Première extension au cas d'un nombre pair d'ordonnées. Ce qui précède suggère un moyen d'étendre les formules de Simpson, de Poncelet et de M. Parmentier au cas où le nombre des ordonnées est pair. Soit à calculer approximativement l'aire E=S+, désignant l'aire curviligne eEFf. On a

t<st+ABE

trapèze eEFf = trapèze eEFf<trapèze eEFf + EE,F.

(*) La formule des trapèzes (comme aussi celle de Simpson et les autres) est employée à l'estimation des volumes, des centres de gravité, des moments d'inertie, etc. Dans le jaugeage des navires, par exemple, y1, Y.,...., Yn représentent les aires de sections équidistantes et on peut les obtenir sur des coupes bien dessinées, au moyen du planimètre. On conçoit aisément qu'au moyen de deux lectures cet instrument donne même immédiatement T. D'après la formule démontrée dans le texte, on peut de même trouver T'. Donc, au moyen de quatre lectures, on peut obtenir une limite supérieure et une limite inférieure de la capacité du navire.