L'erreur commise est plus petite que la plus grande des deux différences,

c'est-à-dire que la première. Cette quantité est facile à interpréter géométriquement.

24. Seconde formule de Simpson. I. Supposons de même que l'on ait à chercher l'aire Σ d'une courbe dont la concavité est tournée vers l'axe des x et dont on connaît (3n + 1) ordonnées équidistantes y1, Y2, Y3,......., Yзn+1. On a, comme limite supérieure,

II. On prendra pour valeur approximative de l'aire, le quart de la première expression plus les trois quarts de la seconde, c'est-à-dire :

est la seconde formule de Simpson. L'erreur maxima commise

est plus petite que la différence de s' avec la limite supérieure. On a donc

3

ε<~ h[−Y1+Ya+Ys—QY6+Ys+Y6−2Y7+ ... —2Y3n-2+Y3n-1+Y3n—Yn+1].

III. On peut obtenir une autre limite de l'erreur, plus facile à calculer à priori, par le procédé qui a servi plus haut pour la formule des trapèzes, au § V. On trouve immédiatement <hD, D étant donné par la formule

ou représenté par la somme ou la différence de deux triangles analogues à ABP, EQF de la figure 3.

XI

FORMULE DE Weddle.

25. Limite supérieure et limite inférieure. Considérons une courbe ABCDEFG concave vers l'axe ag, et sept ordonnées Aa, Bb,...., Gg, équidistantes d'une quantité h, que nous désignons encore par y1, 2,..., Y7. Estimons l'aire S, aABCDEFGg.

Par les extrémités B, D, F des ordonnées de rang pair, menons encore les tangentes B,B2, D,D2, F,F, limitées aux ordonnées voisines. La somme M, des trapèzes

aB,B,c, cD,De, eF,Fag,

est supérieure à S1. Or,

M1 = 2h (y2+ y、 + Yo).

Menons les cordes AC, CE, EG. Le polygone aACEGg est inférieur à S, et a pour mesure

Menons aussi les cordes AD, DG. Le trapèze aADGg est aussi inférieur à S, et a pour mesure

3

= (3m, +2m) = h (2y1 + 2y + 2y + 2y + 217).

26. Formule de Weddle. L'aire S, étant comprise entre M, et mz, on peut prendre pour valeur approximative de cette aire

toute valeur comprise entre M, et m3. La valeur la plus convenable est, comme on le verra plus loin,

Nous poserons donc

Sw (approximativement),

ce qui est la formule de Weddle.

L'erreur commise est plus petite que

¦ (5M, + m3) — m3 — — (M, — m3) — 3 (M, — w).

On peut déduire de ce qui précède une formule servant à trouver les aires dont la base est divisée en 6n parties égales.

XII

EXEMPLES NUMÉRIQUES (*).

27. Premier exemple. Soit à chercher l'aire de la courbe dont l'ordonnée est égale au logarithme népérien de x, diminué de 3, x variant de 1000 à 1006 et h étant égal à l'unité. On trouve, en dix-billionièmes (l'aire exacte étant donnée par le calcul intégral)

(*) Les exemples traités ici ont exigé de nombreux calculs, pour le premier à douze décimales, pour les autres à huit décimales et avec deux ou trois groupes de données dis

Les calculs ont été faits en allant jusqu'aux trillionièmes, c'est-àdire, en prenant deux décimales de plus que celles qui sont conservées. La première formule de Simpson et celle de Weddle donnent un résultat exact jusqu'aux trillionièmes. Même si l'on n'emploie que trois ordonnées, pour la première formule de Simpson, c'est-à-dire si l'on pose s=y1+4y+y7, la différence S―s est moindre qu'un cent-billionième.

Quand les erreurs théoriques peuvent être calculées de plusieurs manières, nous n'avons inscrit dans la dernière colonne que l'erreur maxima la plus faible.

28. Autres exemples. Dans le cas précédent, p, p', 1 sont calculés au moyen de cinq ordonnées seulement (y, et y étant exclus), p'', p''', π au moyen de 6 (y4 étant exclu); les autres valeurs ont été trouvées au moyen des sept ordonnées. Voici trois autres exemples, où, pour chaque formule, on a employé seulement sept ordonnées : h= pour les 5 premières, h=; pour les trois suivantes; enfin h= pour les dernières. Tous les résultats sont donnés en millionièmes.

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tinctes. Il se pourrait donc qu'il se fût glissé quelques erreurs dans nos résultats, mais elles ne sont pas bien considérables, pensons-nous. La courbe I a sa convexité tournée vers l'axe al, autrement dit, d, d', d", sont négatifs.